システム管理者
第１章 群の概念
［定義］群
$$G=\left\{ a, b, c, \cdots \right\} $$
有限または無限の集合$$G$$が，群groupと呼ばれるのは，次の公理を満たす場合である：
１° ２項演算の存在： $$ ^{ \forall }a, ^{ \forall }b \in G \to a \circ b \in G $$
２° 結合法則： $$a \circ (b \circ c)=(a \circ b) \circ c$$
３° 単位元の存在： ある元 $$e \in G$$（ただ一つ）が存在し，
$$a \circ e=e \circ a=a$$が，すべての $$a \in G$$に対して成り立つ．
４° 逆元の存在： 各 $$a \in G$$に対して，
$$x \circ a=a \circ x=e$$となる $$x \in G$$が，いつも（ただ一つ）存在する．
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［補足］
集合の元間に，演算$$ \circ $$（２項演算）が定義されて，その演算について，何らかの"構造"を持つ集合を，代数系（$$ \circ $$系）という．群は，1種類の2項演算$${\circ}$$に関する代数系の例である．
・演算$$ \circ $$について結合的（１°，２°のみ成り立つ）である代数系は半群という．
・演算が定義できる２元と，できない２元を含む（1°に制限のある）複雑な代数系として，色々な亜群groupoidが定義される．
$$e_l \circ a=a$$となる$${e_l}$$を左単位元，$$a \circ e_r=a$$となる$${e_r}$$を右単位元という．群の公理3°は，群の右単位元と左単位元は同一であることを主張している．
$${e_l =a\circ x_r}$$となる$$x_r$$を$$a$$の右逆元，$${e_r=x_l \circ a}$$となる$${x_l}$$を$$a$$の左逆元という．群の公理4°は，右逆元と左逆元とが同一であることを主張している．
しかし，本当は，左単位元と右逆元の存在（あるいは，右単位元と左逆元の存在）だけ公理に入れればよい．
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［演習］
■群の公理３°，４°で，”ただ一つ”というのは公理に含めなくてもよい（導くことができる）．
●単位元が２つあったとし，それらを左単位元$${e_l}$$，右単位元$${e_r}$$とする．
$$e_r=e_l \circ e_r=e_l$$
ゆえに，右単位元と左単位元は同一であり，単位元を$${e}$$と記す．
●任意の元$${a}$$の逆元が２つ（左逆元$${x}$$，右逆元$${y}$$）あったとする．
$${e\circ y=x\circ a\circ y=x\circ e}$$ よって$${x=y}$$
従って，$${^{\forall}a}$$の右単位元と左単位元は同一になり，$${a^{-1 } }$$と記す．
■以下の等式を証明せよ．
■ $$(a^{-1})^{-1}=a$$
（証明） $$a \circ a^{-1}=a^{-1} \circ a=e$$
$$(a^{-1}) \circ (a^{-1})^{-1}=(a^{-1})^{-1} \circ (a^{-1})=e$$
$$(a^{-1})$$の逆元は一意であるから，$$(a^{-1})^{-1}=a$$
■ $$\left( a \circ b \right) ^{-1}=b^{-1} \circ a^{-1}$$
（証明） $$(a \circ b)^{-1} \circ (a \circ b)=e$$
$$(b^{-1} \circ a^{-1}) \circ (a \circ b)=e$$
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群の例
例１． 整数$$Z=\left\{ 0, \pm 1, \pm 2, \cdots \right\} $$： 加法群をなす．
例２． 実数$$R$$： 加法で群
例３． $$R-{0}$$： 乗法で群
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例４． 正3角形の３次の対称群（置換群）
対称操作の表
■乗積表
鏡映面$$\sigma _{1}, \sigma _{2}, \sigma _{3}$$は，図形のそれぞれの頂点に固定されて変換されるとして，群の乗積表を作りなさい．
乗積表
乗積表からわかること：
･群を作る$$ \longrightarrow $$ 3次の対称群（有限群，位数は6）
･可換群（Abel群）ではない．
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例５．$$n$$次正則行列の集合
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例６. $$n$$次直交行列 $$O(n)$$
$$A \in O(n)$$のとき，$$\left| \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
A
\end{array} \right| $$を求めよ．$$\left| \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
A
\end{array} \right| =\textrm{det}A$$は行列式の記号
$$\left| \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
^{t}AA
\end{array} \right| =\left| \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
E
\end{array} \right| $$ $$\Longrightarrow$$ $$\left| \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
A
\end{array} \right| ^{2}=1$$ $$\Longrightarrow$$ $$|A|= \pm 1$$
これを回転群と呼ぶ．
■$$A \in SO(2)$$のとき，適当に$$\theta $$をとって，
$$A=\left( \begin{array}{@{\,} cc @{\, } }
\textrm{cos}\theta & -\textrm{sin}\theta \\[0mm]
\textrm{sin}\theta & \textrm{cos}\theta
\end{array} \right) $$ と書くことができる．
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［定義］ 元の位数$$r$$
元$$a$$の位数$$r$$とは，$$a^{r}=e$$となる最小の自然数である．
このような$$r$$がないときは，元$$a$$は自由元である．
有限群の位数とは，元の数である．
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集合の２元間に或る2項演算$$ \circ $$が定義され，その演算$$ \circ $$に関して，或る「構造」を持つ集合を代数系という．
演算$$ \circ $$は結合法則 $$\left( x \circ y \right) \circ z=x \circ \left( y \circ z \right) $$が成立つ．
演算$$ \circ $$について，結合法則だけが存在する代数系を「半群」という．
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［定義］群の軌道
群$$\mit\Gamma $$を，集合$$X$$上に作用する「変換群」とする．
群$$\mit\Gamma $$による$$a \in X$$の軌道とは，$$\mit\Gamma (a)=\left\{ \sigma (a)|\sigma \in \mit\Gamma \right\} $$．
$$X \ni a, b$$に対して，$$b$$が$$a$$の軌道に含まれるという関係は，$$X$$における同値関係になる．
軌道は同値類で，集合$$X$$を軌道で類別できる．
$$X$$の中に軌道がただ一つしかない場合：
つまり，$$^{ \forall }x, ^{ \forall }y \in X$$に対して，$$^{ \exists }\sigma \in \mit\Gamma $$があり，$$\sigma (x)=y$$のとき，$$\mit\Gamma $$は推移的という．
［演習］
軌道に属するという関係は，同値関係であることを確認せよ．
$$a$$の軌道に$$b$$が含まれるとする：$$ b \in \left\{ \sigma (a)|\sigma \in \mit\Gamma \right\} $$であるから，$$b=\sigma _{i}(a)$$となる$$^{ \exists }\sigma _{i} \in \mit\Gamma $$がある．$$\mit\Gamma $$は群であるから，$$\sigma _{i}^{-1} \in \mit\Gamma $$があり，$$\sigma _{i}^{-1}(b)=a$$となり，$$b$$の軌道に$$a$$が含まれる．ゆえに，$$ {\mit\Gamma}(a)={\mit\Gamma} (b) $$．
これは，対称律を保証する．反射律，推移率も同様に成立する．
