n-dimensional space groups and regular point systems

Comput. Math. Applic. Vol. 16, No. 5-8, pp. 53%543, 1988

E. V. CHUPRUNOVand T. S. KUNTSEVICH; Gorky, U.S.S.R.

Abstract

n次元空間群の対称性が異なる正則点系（SNRPS）の概念を導入した。
これらの群の導出に群論的アルゴリズムを提案した。
n=2,3,4に対してSNRPSの数は、それぞれ13,166,3684であった。

３次元空間群については、58の局所中心対称空間群(LCSG)；それぞれの正則点系が対称心を持つ；を検討した。
その結果、LCSGの結晶では、見積もった圧電係数と電気光学係数の絶対値が、構造中の最も重い原子の原子番号が増加するにつれて減少する傾向が観察された。
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近年、一般化された対称性という群論的手法を用いた論文が数多く発表されている。これは、ソ連の著名な結晶学者であるシュブニコフとベーロフ[1-3]の著作にその基礎がある。
 n次元結晶点群と空間群のいくつかのカテゴリーは、固体物理学に応用されている。

まず第一に、非整合結晶相の研究、変調構造の研究に使われる。結晶の並進が乱れているので、従来の空間群では記述できないからだ。de Wolff[4]、 JannerとJanssen[5]によって提案されたのは、非整合相を(3 +d)次元の「超空間」群によって記述する方法である。これは色々な研究で用いられ成功している[6-11]。

(3+d)次元空間群の形式は、空間変調の積として扱われる複合分子系の対称性記述にも応用されている[12, 13]。
4次元結晶点群 は、結晶場におけるエネルギー準位の分裂を考慮する際に、付加的な情報を提供する[14]。

このように、n次元結晶学は、様々な数学モデルの離散的性質の記述に役立つだけでなく、特定の結晶構造の物理的性質の研究にも役立つと考えられる。

n次元結晶学の主な成果を簡単にサーベイしてみよう。それらは［15-17]で十分にカバーされている。FedorovとShoenfliesが230の結晶空間群型の導出を完成させたとき、高次元でそれに対応する群の導出の可能性を考えるのは自然なことであった。1911-12年、ビーベルバッハと フロベニウスはn次元格子の対称群の一般理論を展開し、n次元ユークリッド空間に有限個の異なる空間群が存在することを証明した。
この一般理論に基づき、1948年にザッセンハウスは は、n次元空間群をその並進部分群の拡張として導出するアルゴリズムを提案した。1950年頃、ヘルマンHermannは 高次元で可能な結晶学的対称性操作の完全な説明を与え、最大対称性の格子とその結晶について論じた。1951年、ハーリーHurleyは4次元ユークリッド空間において222の幾何学的結晶類を発見（4×4実行列の有限群の類を列挙したグルサGoursatによる1889年の研究を利用）、後にこの数は227にに訂正された。

現在、4次元ユークリッド空間における結晶群の分類は完成しており、4次元空間群4783種の完全なリストは1973年に計算され、ブラウンBrownらによる優れたモノグラフ "Crystallographic groups of four-dimensional space " [15]に記載されている。これらの群は、9つの最大算術結晶類（1965年にDadeによって導出された）から、710の4次元算術類のすべてが導かれたもので、有限群の正規化子を計算することができた。Zassenhausアルゴリズムに必要なユニモジュラ4×4行列の有限群の正規化子を計算できる。

このモノグラフ[15]は は、4次元結晶群の全クラスを完全に記述しているだけでなく、n次元結晶群の分類体系に深くアプローチし、4次元結晶群の特性を与えている点でも興味深い。
それらの性質の一つは、空間群型だけでなく、格子のブラベ型、算術類、幾何類にも見られる鏡像異像（エナンショモルフィズム）である。この現象はShtogrinによって初めて発見された[18]。
n次元数理結晶学はまだ進行中である。Ryshkov [19] は、5次元ユークリッド空間のすべての最大算術結晶類を決定した。

対称、反対称、2回対称反対称の3次元群に同型の、5次元および6次元の「小さな」群のいくつかのカテゴリーはPalistrantによって導出された[20]。 n次元結晶学に適用された数学的理論のいくつかの側面が考察された[15，21]。

 高次元の結晶群を研究することで、2次元や3次元の結晶学をより深く理解することができる[22]。
特に興味深いのは、n次元空間群によって生成される正則点群（RPS）の対称性である[23]。

この点をもう少し詳しく考えてみよう。
正則点系G (α)とは、n次元ユークリッド空間におけるすべての点の集合を意味する。
このRPSの概念は、結晶学で広く使われている軌道の概念[31, 32]の特殊な場合である。 

ShubnikovとBelovは、いくつかの空間群について、一般位置の正則点系（一般RPSと呼ぶ）の対称性が、非対称物体の対応する正則点系の対称性よりも高いことを強調している[24-26]。その理由は、これらの群の特殊性と、正則系要素の固有対称性の存在にある。

生成群と比較して、正則点系の対称化現象は、対称化の自然現象に位置づけら、Shubnikov-Curieの原理[27]によって記述される。

与えられ次元nの空間において、対称的に非等価な（つまり対称性が異なる）一般正則点系SNRPSは、対応する空間群よりも数が少なく見えるかもしれない。対称的に 非等価一般正則点系RPSの概念は、文献[32]の一般特性軌道の概念と一致する。
各SNRPSは、与えられた正則系を不変とするようなすべての群の最大超群と対応させることができる。このような群を見つける方法は
Chuprunovらによって次の定理の基づき展開された[23]：
結晶群Gの一般的な正則点系G(α)が、Gの超群である結晶群Tのもとで不変であるためには、 次が必要かつ十分である。与えられた正則系のすべての点$$\alpha_{i}$$に対して、次のことが必要かつ十分である。n次元ユークリッド空間 $$E^{n}$$のすべての運動の群 $$S$$ 内の群$$G$$ の正規化群$$N_{s}(G)$$ の非自明な部分群 $$N_{\alpha}^{i}$$‾ が存在し、点$$\alpha_{i}$$をそれ自身に変換する。

En空間の任意の点を原点$$\alpha_{i}$$とすることができる。空間の各点に対して部分群 $$N_{\alpha}^{i}$$が存在するので、正規化群$$N_{s}(G)$$は連続的な部分群を持つ。
一方、点$$\alpha_{i}$$が部分群$$N_{\alpha}^{i}$$のもとで不変であるということは、Enの各位置 は群$$N_{s}(G)$$に関して特定のものでなければならない。
空間群要素の演算子表記を使おう：$$ \{g=\psi | t(\phi)\}$$、ここで$$\phi$$は座標の原点を基準とした第1種または第2種の回転操作（同じ文字はこの回転の行列を表す)は、座標の原点に対する回転のシフトと回転の並進成分の両方を考慮したものである。

並進格子は回転の順序にいくつかの制限を課すため、n 次元空間群の正規化子の連続サブグループは、無限小並進のサブグループを持つ必要がある。文献[23]で示されているが、正規化群$$N_{s}(G)$$は、空間群Gの全要素の行列$$\phi$$が固有値$$\lambda =+1$$の非ゼロの共通固有ベクトルを持つ。無限小並進の部分群は、回転の共通固有ベクトルのp次元空間の運動の部分群を形成する。