$$N$$ は群 $$G$$ の正規部分群（$$ N\vartriangleleft G $$），$$H$$ は群 $$G$$ の部分群（正規とは限らない）であるとする． １．$$NH$$は群をなす． （証明）$$n_{i}h_{i},  n_{j}h_{j}\in NH$$   $${N}$$ と $${H}$$ は自明な共通部分をもつ：$${N ∩ H = 1}$$$${G}$$ を群とし，$${H}$$ をその部分群，$${}$$N を正規部分群 (N ◁ G) とすると、以下は同値である。 $${G = NH}$$ かつ $${N ∩ H = 1}$$.$${G}$$ のすべての元は積 $${nh (n ∈ N, h ∈ H)}$$ として一意的に書ける．G のすべての元は積 hn (h ∈ H, n ∈ N) として一意的に書ける。自然な埋め込み $${H → G}$$ を自然な射影 $${G → G / N}$$ と合成すると、$${H}$$ と商群 $${G / N}$$ の間の同型写像となる。$${H}$$ 上恒等写像で核が $${N}$$ の群準同型 $${G → H}$$ が存在する。

Alexandru Lungu; Moldova State University; January 2005; p.101-105.https://www.researchgate.net/publication/265535220 Abstract 幾何学的「インデックス付き」図形の混合変換を分析した．その「インデックス」(図形の点に追加される) はスカラーまたは均一方向の量の大きさとする．「インデックス」の変換則の大域的性質または局所的性質に応じて，４種類の混合変換が得られる． 混合変換は、「インデックス」の置換群 P のグループのさまざまなタイプ (左または右) の半直積の部分群であり，または，初めの何学形状の離散対称群により，初めの群 P の同型コピーのデカルト積の部分群を形成する． １． 演算子[1]の群G による群P の右半直積は，次の手順で P と G から導出できる：1) 規則 ϕ(gH)=ϕg、ここでϕg(p)=gpg に従って因数群 G/H と Φ の同型性 ϕ が存在する G のすべての不変部分群 H と AutP のすべての部分群 Φ を求める。 −1;2) G の各 g と P の各 p をペアごとに結合します:~g=pg; 3) これらすべてのペアのセットに次の操作を導入します。 群Pと演算子［1］の群Gの右半直積は，PとGから次のステップで導ける：１）G中ですべての正規部分群Hを見つけ...

          同型定理   非正規の拡大の例に，Van derWaerden -Bruckhardtの群$${G_{WB}^{(p) } }$$がある．この群は，3項記号$${G/H'/H}$$で定義されるが，ここで，古典群$${G \leftrightarrow G_{WB}^{(p) } }$$；指数$${p}$$の部分群$${H' \subset G}$$は，性質（色）$${i}$$を保存する部分群$${H_{i}^{(p_{1})} \subset G_{WB}^{(p) } }$$に同型対応する；正規部分群$${H=G \cap G_{WB}^{(p) } }$$（古典部分群$$ H \vartriangleleft G^{(p) } $$を作っている）は，$${H'}$$のすべての共役部分群の共通部分によって決定される$${H= \cap gH'g^{-1}, g \in G}$$．色群$$ G_{WB}^{(p)}=g_{1}H_{i}^{(p_{1})} \cup g_{2}^{(p)}H_{i}^{(p_{1})} \cup \ldots \cup g_{p}^{(p)}H_{i}^{(p_{1})} $$は，部分群$${H_{i}^{(p_{1}) } }$$を，剰余類の代表系$$ G^{(p)^{* } }=\{ g_{1},g_{2}^{(p)}, \ldots ,g_{p}^{(p)} \} $$で拡大したものと表現されるが，一般には群を成さない．$${G_{WB}^{(p) } }$$で作用する性質$${p}$$個の置換は，$${g_{i } }$$を左から乗じることによる左剰余類$${g_{k}H'}$$の置換である：$$ g_{i}^{(p)}=g_{i}p_{i}=p_{i}g_{i} $$，$$p_{i}=\begin{pmatr...

Comput. Math. Applic. Vol. 16, No. 5-8, pp. 53%543, 1988 E. V. CHUPRUNOVand T. S. KUNTSEVICH; Gorky, U.S.S.R. Abstract n次元空間群の対称性が異なる正則点系（SNRPS）の概念を導入した。これらの群の導出に群論的アルゴリズムを提案した。n=2,3,4に対してSNRPSの数は、それぞれ13,166,3684であった。 ３次元空間群については、58の局所中心対称空間群(LCSG)；それぞれの正則点系が対称心を持つ；を検討した。その結果、LCSGの結晶では、見積もった圧電係数と電気光学係数の絶対値が、構造中の最も重い原子の原子番号が増加するにつれて減少する傾向が観察された。ーーーーーーーーーーーーー  近年、一般化された対称性という群論的手法を用いた論文が数多く発表されている。これは、ソ連の著名な結晶学者であるシュブニコフとベーロフ[1-3]の著作にその基礎がある。 n次元結晶点群と空間群のいくつかのカテゴリーは、固体物理学に応用されている。 まず第一に、非整合結晶相の研究、変調構造の研究に使われる。結晶の並進が乱れているので、従来の空間群では記述できないからだ。de Wolff[4]、 JannerとJanssen[5]によって提案されたのは、非整合相を(3 +d)次元の...

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